概念

极小曲面

平均曲率为零的曲面是面积泛函的临界点，肥皂膜是自然界中的极小曲面。

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极小曲面变分法

01定义

极小曲面是面积泛函的临界点，等价于平均曲率处处为零。肥皂膜是自然界的极小曲面实验员：普拉托定律刻画膜的拼接规则，伯恩斯坦定理与曲率估计则是理论的高峰。

悬链面：两圆环间的肥皂膜，H ≡ 0

极小曲面方程 $(1+u_y^2)u_{xx}-2u_xu_yu_{xy}+(1+u_x^2)u_{yy}=0$ ：平面、悬链面、螺旋面是经典解；施瓦茨 P 面周期拼接。

给定边界曲线求张成的极小面：道格拉斯与拉多 1930-31 年证明存在性（首届菲尔兹奖成果之一）。

伯恩斯坦定理：全平面上的极小图像必为平面（ $n\leq 7$ ）；高维出现奇点，几何测度论（费德里克、弗莱明）给出正则性理论。

H=0\iff\delta\,\text{Area}=0

欧拉 1744 年发现悬链面；拉格朗日 1760 年提出一般问题；普拉托 1873 年以实验总结膜定律；道格拉斯 1936 年获菲尔兹奖。

建筑的大跨度膜结构（慕尼黑奥运场馆）、材料科学的界面能模型、广义相对论的黑洞视界几何（彭罗斯不等式）。

悬链面：唯一的旋转极小曲面拖 a 收窄腰：悬链线绕轴旋转，平均曲率处处为 0

a 腰半径0.90