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欧拉-拉格朗日方程

泛函 J=∫L(x,y,y')dx 取极值的必要条件，是经典力学（最小作用量原理）与分析的基础方程。

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欧拉-拉格朗日方程变分法

01定义

泛函

J[y]=\int L(x,y,y')dx

取极值的必要条件是欧拉-拉格朗日方程

L_y-\frac{d}{dx}L_{y'}=0

。最小作用量原理由此统一经典力学：物理定律 = 某个作用量的驻点条件。

变分原理：极值曲线使泛函对一切扰动驻定

扰动 $y+\varepsilon\eta$ （ $\eta$ 两端为零）， $\frac{d}{d\varepsilon}J|_0=0$ 加分部积分即得方程——「变分 = 0」的字面实现。

$L=\sqrt{1+y'^2}$ 得直线（最短路径）； $L=\sqrt{y(1+y'^2)}$ 得摆线（最速降线）；力学 $L=T-V$ 得运动方程。

每个连续对称对应一个守恒量：时间平移 → 能量、空间平移 → 动量、旋转 → 角动量——对称与守恒的黄金桥梁。

\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}=0

约翰·伯努利 1696 年提出最速降线问题；欧拉 1744 年给出一般方程，拉格朗日 1755 年发明变分符号法；哈密顿 1834 年提出最小作用量原理。

经典与量子力学的拉格朗日形式、广义相对论的爱因斯坦-希尔伯特作用量、最优轨迹规划、深度学习能量模型——物理定律的通用书写格式。

最速降线：摆线 vs 直线 vs 抛物线欧拉-拉格朗日方程的解 → 摆线是重力场中下降最快的路径

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