概念

庞特里亚金原理

哈密顿函数取最大给出最优控制的必要条件，是现代控制理论的基石。

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庞特里亚金原理变分法

01定义

庞特里亚金最大值原理：最优控制必使哈密顿函数逐时刻取最大。伴随方程反向演化「影子价格」，横截条件封住端点——变分法在受控系统上的推广，现代控制理论的基石。

最大值原理：状态前向、伴随反向、哈密顿逐点最大

$\dot\lambda=-H_x$ 、 $\dot x=H_\lambda$ 、 $u^*(t)=\arg\max_u H$ ：最优解满足的哈密顿系统；控制受限时最大化自动给出「 bang-bang」开关控制。

控制无约束时退化为欧拉-拉格朗日方程；有约束时变分法失效而最大值原理依然有效——本质推广。

火箭燃料最省、化疗剂量最优、投资组合优化：两点边值问题数值求解（打靶法、间接法）是标准流程。

H(x,u,\lambda)=\lambda^\top f(x,u)+L(x,u),\quad u^*=\arg\max_u H

庞特里亚金学派 1956 年证明（庞特里亚金目盲而由口述完成）；与贝尔曼动态规划同期诞生，冷战航天竞赛推动其工程应用。

航天器轨道转移（霍曼转移的推广）、机器人轨迹优化、经济学的最优增长模型、自动驾驶的能量最优规划。

时间最优控制：bang-bang 与切换曲线拖起点 (x,v)：最优控制先 −1 后 +1（或反之），至多切换一次

x 位置2.50v 速度1.20