概念

二阶变分

勒让德条件与雅可比条件区分极大与极小，对应二阶导数的符号与共轭点。

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二阶变分变分法

01定义

欧拉-拉格朗日方程只给驻点，二阶变分区分极大与极小：勒让德条件（

L_{y'y'}\geq 0

）与雅可比条件（无共轭点）联合保证弱极小。变分法的「二阶导数检验」。

二阶变分：曲率符号区分极小与极大

极小要求 $L_{y'y'}\geq 0$ 沿驻点曲线——类似 $f''\geq 0$ ；强形式（严格正）才够支撑充分条件。

二阶变分正定 $\iff$ 驻点曲线到端点间无共轭点；测地线越过共轭点后不再是极短路径——球面上「绕远的大圆弧」为例。

外尔斯特拉斯场论给出强极小的充分条件：驻点 + 勒让德强条件 + 无共轭点——经典变分法的完整判据链。

\delta^2J=\int\bigl(L_{yy}\eta^2+2L_{yy'}\eta\eta'+L_{y'y'}\eta'^2\bigr)dx

勒让德 1786 年提出第一个二阶条件（但有漏洞）；雅可比 1837 年以共轭点修正；外尔斯特拉斯学派完成充分条件体系。

最优控制的二阶最优性条件、结构力学的屈曲分析（失稳 = 二阶变分变号）、广义相对论测地线稳定性的判定。

二阶变分：极小化子的判据拖 λ 越过 π²：泛函 J 的凸性翻转，驻点从极小变极大

λ 参数6.00a 扰动幅值1.00