弱下半连续
凸泛函弱下半连续，弱下半连续+强制是直接方法的两个支柱条件。
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01定义
直接方法的存在性依赖两个支柱：泛函弱下半连续（弱极限不抬升函数值）与强制性（远离原点函数值趋于无穷）。凸性 + 增长条件保证弱下半连续——极小值因此必然达到。
02核心要点
01
为何「弱」
无穷维闭球不紧：极小化序列只有弱收敛子列；弱下半连续恰是「弱极限不丢极小值」的保证。
02
凸性的馈赠
凸 + 连续的泛函自动弱下半连续；积分泛函 由 凸性保证——经典充分条件。
03
强制条件
（）使极小化序列有界：Poincaré 不等式常是强制性的来源。
03关键公式
04历史沿革
希尔伯特 1900 年以「直接方法」解狄利克雷原理；通内利 1910 年代系统化；20 世纪中叶由莫雷、马利阿温-哈默斯坦发展为标准工具。
05应用与延伸
非线性弹性力学的变形存在性、图像分割的 Mumford-Shah 模型、几何测度论的极小曲面存在性——「存在性不靠解方程」的现代范式。
06交互演示
下半连续：函数值 ≤ 极限下界拖 jump 让 x=0 处的值下跳：f(0) ≤ liminf f(xₙ) 保持极小可达