概念

测地线

测地线是局部最短曲线，满足测地方程，是弯曲空间中的「直线」概念。

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测地线微分几何

01定义

测地线是弯曲空间中「局部最短」的曲线，满足测地方程（协变加速度为零）：平面上是直线，球面上是大圆。它是直线概念在黎曼流形上的推广。

球面上的测地线是大圆弧：A、B 间的最短路径

$\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j=0$ ，其中 $\Gamma^k_{ij}$ （Christoffel 符号）由度量导出——方程只依赖 $g$ ，是内蕴的。

平面→直线；球面→大圆；圆柱面→螺旋线（展开后是直线）；双曲半平面→竖直直线与半圆。

从一点沿各方向以初速度发射测地线，得到指数映射 $\exp_p$ ；「完备流形上任意两点可被测地线连接」是 Hopf-Rinow 定理。

\ddot x^k+\Gamma^k_{ij}\dot x^i\dot x^j=0

\Gamma^k_{ij}=\frac{1}{2}g^{kl}(\partial_i g_{jl}+\partial_j g_{il}-\partial_l g_{ij})

球面最短路径自古为航海所用；黎曼几何给出统一方程。爱因斯坦 1915 年断言：自由粒子与时空光线沿时空测地线运动——引力被几何化。

洲际航线沿大圆规划以省燃料；广义相对论中行星轨道是时空测地线；机器人构型空间的最优运动即测地线。

球面测地线：大圆是两点间最短路径拖 λ、φ 移动终点：大圆 = 过球心与两点的平面和球面的交线

终点纬度0.60终点经度1.80