概念

局部不变量

弧长是曲线的自然参数，曲率度量弯曲程度、挠率度量扭转程度，二者决定曲线的局部形状。

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局部不变量微分几何

01定义

弧长、曲率、挠率是曲线的三个局部不变量：弧长度量长度，曲率

\kappa

度量弯曲程度（密切圆半径的倒数），挠率

\tau

度量偏离平面的扭转。曲线基本定理断言：

\kappa, \tau

在刚体运动下完全决定曲线。

曲线在 P 点的密切圆（圆心 C、半径 R=1/κ）刻画弯曲程度

弧长 $s$ 是曲线的「自然参数」，与坐标选取无关；以 $s$ 参数化后，切向量自动为单位长，公式最为干净。

$\kappa=|d\vec T/ds|$ 即单位切向量的转动速率；平面曲线 $\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$ 。

$\tau$ 度量曲线偏离密切平面的速率： $\tau\equiv 0$ 当且仅当曲线是平面曲线——挠率是「空间性」的度量。

\kappa=\left|\frac{d\vec T}{ds}\right|

\kappa=\frac{|x'y''-y'x''|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}

\tau=0\iff\text{平面曲线}

欧拉、克莱罗奠定了曲线论的早期结果；1852 年弗雷内与 1851 年塞雷各自给出完整公式体系，使曲线论成为微分几何的第一个成熟分支。

公路与铁路设计用「缓和曲线」（曲率线性变化）保证转向平顺；动画路径与机器人轨迹规划同样以曲率控制光滑度。

螺旋线的 Frenet 标架与曲率、挠率拖 t 移动标架：曲率 κ 恒定、挠率 τ 恒定，标架绕切线同步扭转

t 参数2.50c 螺距0.80