概念

Frenet标架

切线、主法线、副法线构成活动标架，Frenet 公式描述标架沿曲线的转动，是曲线论的基本方程。

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Frenet标架微分几何

01定义

沿曲线运动的正交标架：单位切向量

\vec T

、主法向量

\vec N

、副法向量

\vec B=\vec T\times\vec N

。Frenet 公式用曲率与挠率描述标架的转动，是曲线论的「基本方程」。

曲线上一点的活动标架：切向量 T、主法向量 N、副法向量 B

$\vec T$ 指向运动方向； $\vec N$ 指向弯曲一侧（ $d\vec T/ds=\kappa\vec N$ ）； $\vec B$ 垂直于密切平面，三者构成右手正交系。

$\vec T'=\kappa\vec N$ ， $\vec N'=-\kappa\vec T+\tau\vec B$ ， $\vec B'=-\tau\vec N$ ——标架的导数完全由 $\kappa, \tau$ 决定，是一个反对称线性系统。

Cartan 把标架思想推广到曲面与高维空间，发展为「活动标架法」，成为陈省身等现代几何学家的核心工具。

\frac{d\vec T}{ds}=\kappa\vec N

\frac{d\vec N}{ds}=-\kappa\vec T+\tau\vec B

\frac{d\vec B}{ds}=-\tau\vec N

弗雷内 1847 年在博士论文中导出公式，塞雷 1851 年独立发表；20 世纪 Cartan 将其升华为活动标架法，深刻影响了整体微分几何。

动画中相机沿路径运动的姿态控制、过山车轨道设计、DNA 超螺旋的几何描述，都使用 Frenet 标架或其改良版本。

Frenet 标架：T（切线）、N（主法线）、B（副法线）螺旋线 r(t)=(cos t, sin t, ct)：曲率 κ 与挠率 τ 恒定

参数 t3.40