概念

微分几何

伪黎曼度量给出时空的因果结构，列维-奇维塔联络与黎曼曲率张量描述弯曲程度，测地线是自由落体轨迹。

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微分几何数学物理

01定义

广义相对论的舞台是伪黎曼流形：度量

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给出时空的因果结构（光锥），列维-奇维塔联络定义协变导数，黎曼曲率张量度量弯曲。自由落体 = 测地线——引力被几何化，运动即「最直的路」。

弯曲时空中的测地线与光锥

洛伦兹号差 $(-,+,+,+)$ 使切向量分类为类时/类光/类空：光锥定因果；全局双曲性等因果条件是场方程初值问题的前提——几何先于动力学。

列维-奇维塔联络是「无挠 + 保度量」的唯一选择；黎曼张量 $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ 由联络的对易子定义；比安基恒等式 $\nabla_{[\lambda}R_{\mu\nu]\rho\sigma}=0$ 约束场的自由度。

$\ddot x^\mu+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta=0$ ：牛顿引力在此退化为 $\Gamma^i_{00}$ 分量；引力波是曲率扰动的传播——LIGO 2015 年直接观测证实。

\nabla_\mu g_{\alpha\beta}=0,\quad \ddot{x}^\mu+\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot{x}^\beta=0

黎曼 1854 年就职演讲奠基；列维-奇维塔 1917 年定义联络（平行移动概念）；爱因斯坦在格罗斯曼协助下 1915 年把张量分析用于引力。

黑洞物理与事件视界望远镜成像、引力波数据分析、GPS 的相对论修正、宇宙学模型的几何学基础。

球面平行移动：和乐 = 2π(1−cos θ)沿纬圈平移切向量一圈，向量旋转了 2π(1−cos θ)——曲率的几何效应

θ 纬圈极角0.90