概念

伴随函子

伴随对 (F⊣G) 满足 Hom(FX,Y)≅Hom(X,GY)，自由-遗忘伴随是最典型例子，伴随是许多定理背后的统一机制。

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伴随函子范畴论

01定义

函子对

F\dashv G

满足自然双射

\operatorname{Hom}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}(X,GY)

：

F

的「输出视角」与

G

的「输入视角」完美互译。自由—遗忘伴随是原型；伴随是范畴论中「最普遍的对偶」。

伴随对 F ⊣ G：自由构造与遗忘函子互为左右伴随

自由群函子 $\dashv$ 遗忘函子：群同态 $F(S)\to G$ 恰是集合映射 $S\to UG$ ——「生成元随便映，其余自动决定」。

伴随产生 $\eta:\operatorname{id}\to GF$ （把对象装入自由构造）与 $\varepsilon:FG\to\operatorname{id}$ （把自由构造折叠回来）；三角恒等式保证往返一致。

张量积 $\dashv$ Hom（曲线伴随）、存在量词 $\dashv$ 代入（逻辑的伴随解释）、指数对象 $\dashv$ 积——同一个模式横跨代数、逻辑与几何。

\operatorname{Hom}_{\mathcal{D}}(FX,Y)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,GY)

-\otimes M\ \dashv\ \operatorname{Hom}(M,-)

伴随概念由 Kan 1958 年正式命名（思想早已散布于各处）；「伴随是范畴论的灵魂」逐渐成共识——麦克莱恩说范畴论为伴随而生，伴随为单子的理论而生。

程序语言的 Monad 即伴随的复合（IO、状态、异常处理）；Galois 连接是偏序集上的伴随；数据库的约束迁移由伴随函子实现。

自由 ⊣ 遗忘：Hom(F(S),G) ≅ Hom(S,U(G))集合 S 自由生成群 F(S)；与任意群 G 的态射一一对应

生成元数 n3