概念

线性相关与基

线性组合、线性相关与无关是描述向量间关系的核心概念；基是「最小生成集」，维数是不依赖于基选择的不变量。

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线性相关与基线性代数

01定义

向量空间的「骨架」由基给出：基是一组线性无关且生成整个空间的向量，维数即基的个数。线性相关/无关刻画向量间的冗余关系——它是一切秩、解空间理论的起点。

基 {e₁, e₂} 张成平面，任意 v 有唯一的坐标分解

$\sum c_i v_i=0\Rightarrow$ 所有 $c_i=0$ 时向量组无关——「没有一个向量是其余向量的组合」，即无冗余。

任何两组基的个数相同（维数定理），维数是空间的不变量： $\mathbb{R}^n$ 维数为 $n$ ，次数不超过 $n$ 的多项式空间维数为 $n+1$ 。

选定基后，向量 ↔ 坐标列向量；换基即换坐标系，同一向量在不同基下坐标不同，但向量本身不变——「向量先于坐标」。

v=\sum_{i=1}^{n} c_i e_i\quad(\text{坐标唯一})

\dim V=|\text{任何一组基}|

向量概念由物理（力、速度）引入；皮亚诺 1888 年给出向量空间的现代公理；「线性无关」与「维数」的严格定义随格拉斯曼《扩张论》（1844）逐步成形。

计算机图形学的坐标变换、机器学习的特征空间、有限元方法的分片基函数——凡「用少数基本元素组合表达」之处，都有基与维数。

基向量生成平面：v = s·b₁ + t·b₂θ 接近 0 或 π 时两基近似共线 → 生成集退化

θ 基夹角1.10s 系数1.20t 系数0.80