概念

正交基

标准正交基展开一切向量，Parseval 等式保持「长度」，是傅里叶分析的高维版本。

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正交基泛函分析

01定义

希尔伯特空间的标准正交基把每个向量展开为傅里叶系数序列：贝塞尔不等式与帕塞瓦尔等式保证展开收敛且能量守恒。有限维正交分解的完整推广——傅里叶分析的高维抽象。

正交展开：向量 = 各基方向投影之和

任何可列线性无关组可正交化为标准正交组；可分希尔伯特空间必有可数标准正交基——彼此同构于 $\ell^2$ 。

$\|x\|^2=\sum|\langle x,e_n\rangle|^2$ ：展开保内积保范数， $H\cong\ell^2$ 酉等价——抽象希尔伯特空间全都「长得一样」。

自伴算子依特征函数系展开（施图姆-刘维尔理论）：量子能级、振动模态的数学本质都是正交基展开。

x=\sum_n\langle x,e_n\rangle e_n,\quad\|x\|^2=\sum_n|\langle x,e_n\rangle^2

傅里叶级数的正交投影观点由希尔伯特 1904-1910 年抽象化；里斯与费歇尔 1907 年确立 $L^2\cong\ell^2$ ；冯·诺依曼 1929 年公理化希尔伯特空间。

量子力学的态叠加与测量（投影公设）、数据降维 PCA、音频编解码的正交变换、有限元谱方法的基函数设计。

旋转正交基与向量坐标分解e₁ ⊥ e₂ 且单位长；同一向量在不同基下的坐标随 θ 变化

θ 基旋转25vₓ 分量3.00v_y 分量2.00