概念

有界变差

全变差度量函数的「总摆幅」，若尔当分解把有界变差函数拆为两个单调函数之差。

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有界变差实分析

01定义

有界变差（BV）函数是「总摆幅有限」的函数：全变差

V(f)

为一切分割下增量绝对值之和的上确界。若尔当分解把 BV 函数拆为两个单调函数之差——可积、可微性良好，是测度与几何的交汇点。

全变差：沿曲线的总升降幅度

$f$ 为 BV $\iff f=g-h$ ， $g,h$ 单调递增——BV 函数的性质可借单调函数逐一继承（几乎处处可导、至多可列间断）。

康托尔函数是 BV 且连续，但非绝对连续——导数几乎处处为 0 却从 0 升到 1；两者之差恰是「奇异部分」。

多元 BV：梯度为有限测度的函数空间——图像处理的全变差去噪（ROF 模型）、自由边界问题的自然语言。

V_a^b(f)=\sup\sum_{i}|f(x_i)-f(x_{i-1})|<\infty

若尔当 1881 年为研究曲线长度引入有界变差；勒贝格 1904 年给出分解定理；20 世纪 De Giorgi 把 BV 推广到高维，成为几何测度论核心。

图像去噪（Total Variation 保持边缘）、金融中资产价格的变差分析（二次变差判别布朗运动）、信号处理中的趋势提取。

有界变差：振荡与全变差V = Σ|Δy|：总变差等于正负涨落之和

振荡幅度0.50