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特征值问题

QR 迭代通过反复 QR 分解收敛到舒尔形式，Lanczos 方法把大矩阵投影到低维 Krylov 子空间近似特征值。

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特征值问题计算数学

01定义

特征值问题

Ax=\lambda x

提取矩阵的谱信息：QR 迭代反复分解重组把矩阵推向三角形式，对角元即特征值；大稀疏矩阵用 Lanczos/Arnoldi 把问题投影到低维 Krylov 子空间——谱决定系统的振动模式与稳定性。

QR 迭代：反复分解重组，谱浮现在对角线上

每步 $A=QR$ ，令 $A_+=RQ$ （相似变换）；不带位移收敛慢，Francis 位移策略（隐式位移 QR）实用化后成为稠密特征值求解的标准算法， $O(n^3)$ 。

对称矩阵的 Lanczos 过程生成三对角投影：极端特征值（最大/最小几个）最先收敛——百万维矩阵只需矩阵向量积，无需存储矩阵本身。

谱半径定迭代收敛、最小特征值定凸性、特征向量定主成分与振动模态——「谱」是矩阵分析通向应用的通用接口。

Ax=\lambda x,\quad A_k=Q_kR_k,\ A_{k+1}=R_kQ_k\Rightarrow A_k\to\text{Schur 形}

Francis 与 Kublanovskaya 1961 年各自独立提出 QR 算法；Lanczos 1950 年发明其投影方法，曾遭舍入误差质疑，1970 年代被重新评估后成为大矩阵利器。

PCA 主成分分析、Google PageRank、结构模态分析（桥梁共振频率）、量子化学的能级计算。

幂迭代：向量转向主特征方向拖 k：v ← Av 反复归一化，方向收敛到最大特征值对应的特征向量

迭代次数1