概念

沙普利值

按每个参与者对联盟的边际贡献的期望分配收益，满足有效性、对称性等四条公理，是唯一的公平分配方案。

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沙普利值博弈论

01定义

沙普利值按边际贡献的期望分配合作收益：参与者以随机顺序加入联盟，取其加入时的平均增量。四条公理（有效性、对称性、哑公理、可加性）唯一确定这一分配——「公平」被公理化地定义出来。

沙普利值：沿随机加入顺序取边际贡献的期望

$\phi_i=\sum_S\frac{|S|!(n-|S|-1)!}{n!}[v(S\cup i)-v(S)]$ ：权重恰好是联盟 $S$ 出现在随机排列中的概率——组合系数来自「所有顺序等可能」。

沙普利 1953 年证明四公理唯一确定 $\phi$ ：公理化方法把「公平」从直觉变成定理——此后成本分摊、投票权力（Banzhaf 指数）皆循此路径。

精确计算需遍历 $2^n$ 联盟；蒙特卡洛排列采样给出近似；特殊结构（加权投票、网络博弈）有快速公式——大规模应用中采样是常态。

\phi_i(v)=\sum_{S\subseteq N\setminus i}\frac{|S|!\,(n-|S|-1)!}{n!}\bigl[v(S\cup\{i\})-v(S)\bigr]

沙普利 1953 年提出该值（与库恩合编的贡献值论文）；2012 年沙普利与罗斯因匹配与机制设计获诺贝尔经济学奖；沙普利值是合作博弈最广泛使用的解概念。

联合国安理会投票权力分析、成本分摊协议、机器学习的特征重要性（SHAP 值）、区块链的矿工收益分配。

沙普利值：按边际贡献公平分配遍历 6 种加入顺序：每位玩家的平均边际贡献

step 顺序编号（0=平均）0