概念

组合设计

研究把元素按规则分块（区组设计、斯坦纳系）的构造问题，源自统计试验设计，并与有限几何、纠错码理论深刻互哺。

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组合设计组合数学

01定义

组合设计研究把元素按规则分块的构造：区组设计要求每对元素恰同现

\lambda

次，斯坦纳系是其极致。它源自统计试验设计，与有限几何、纠错码理论深度互哺。

法诺平面：最小的斯坦纳三元系 S(2,3,7)

$(v,k,\lambda)$ -设计： $v$ 个元素的 $k$ 元子集族使每对元素恰同现 $\lambda$ 次；计数恒等式 $bk=vr$ 、 $\lambda(v-1)=r(k-1)$ 约束参数。

15 名女生每日分 5 组散步、一周内每两人恰同组一次——可分解的斯坦纳三元系 S(2,3,15)，1850 年的著名难题催生设计理论。

威尔逊 1975 年证明：参数满足必要整除条件时，大 $v$ 的设计必存在（柯克曼情形至 2014 年才完全解决）——组合设计的「渐近完备」。

b=\frac{\lambda v(v-1)}{k(k-1)},\quad r=\frac{\lambda(v-1)}{k-1}

柯克曼 1850 年提出女生问题；维特 1847 年构造维特设计（与马蒂厄群相关）；费希尔不等式与威尔逊定理把设计论建成严密学科。

统计试验设计（田间试验与药物试验的安排）、纠错码（BCH 码与几何码）、锦标赛日程编排、密码学的秘密共享方案。

Fano 平面：Steiner 三元系 STS(7)7 点 7 线，每线 3 点、每对点恰共一条线

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