概念

四元数

哈密顿引入的四分量数系，放弃乘法交换律但仍是除环，用单位四元数可简洁描述三维旋转，广泛用于计算机图形学与航天姿态控制。

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四元数数系理论

01定义

四元数

\mathbb{H}

是哈密顿 1843 年发现的四分量数系：放弃乘法交换律（

ij=-ji

）但保持结合性与可除性。单位四元数以四个实数优雅描述三维旋转，避免了欧拉角的万向锁。

四元数基：1、i、j、k 满足 i²=j²=k²=ijk=−1

$q=a+bi+cj+dk$ （ $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$ ）构成 4 维实除环；共轭 $\bar q$ 给出范数 $|q|^2=q\bar q$ ，非零元皆可除。

单位四元数 $q$ 经 $v\mapsto qvq^{-1}$ 作用三维向量即得旋转；双覆盖 $\mathrm{Spin}(3)\to\mathrm{SO}(3)$ 使插值与复合远优于矩阵。

有限维实可除代数仅有 $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$ 三种——四元数是「数的扩张」在结合性约束下的终点。

q=a+bi+cj+dk,\quad|q|^2=a^2+b^2+c^2+d^2

1843 年 10 月 16 日，哈密顿在都柏林布鲁姆桥上顿悟四元数乘法并刻于桥石；此后他倾注余生推广四元数，向量记号之争延续到 20 世纪。

计算机图形学的骨骼动画与相机控制、航天器姿态解算、机器人的旋转插值（Slerp）——单位四元数是三维旋转的工程标准。

四元数：i²=j²=k²=ijk=−1 与 3D 旋转单位四元数 cos(θ/2)+sin(θ/2)û 表示绕轴 û 旋转 θ

θ 旋转角120