概念

戴德金分割

把实数定义为一对有理数集合（下组与上组）的「分割」，直接体现实数的序完备性，直观而严格地构造出实数。

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戴德金分割数系理论

01定义

戴德金分割把实数定义为有理数的「切口」：每个分割

(A,B)

满足

A

无最大元、

A

中一切小于

B

中一切、

A\cup B=\mathbb{Q}

。这一构造直接从序结构生成完备性，直观而严格。

定义 √2 的分割：下组无最大元的切口本身成为新数

分割是 $\mathbb{Q}$ 的二分 $(A,B)$ ： $A$ 向下封闭且无最大元。实数集定义为全部分割的集合，序与运算在分割上自然定义。

任一实数集的分割都由某个实数实现——戴德金完备性是构造的定理而非外加公理； $\sqrt{2}$ 由 $\{q:q^2<2\}$ 直接生成。

分割法从序出发、一步到位；柯西序列法从度量出发、需取等价类。两条路殊途同归，都证明 $\mathbb{R}$ 是 $\mathbb{Q}$ 的完备化。

\sqrt{2}=\{q\in\mathbb{Q}:q<0\ \text{或}\ q^2<2\}

戴德金 1872 年发表《连续性与无理数》，以分割严格构造实数，终结了两千年来对「连续」的模糊直觉；同日康托尔以柯西序列给出另一构造。

构造性数学偏爱的实数定义；定理证明器中实数理论的严格形式化；实数算术的形式验证以分割或柯西模型为底层定义。

戴德金分割：定义 √2A={r: r²<2} 与 B={r: r²>2} 把有理数分成两段，分割点即 √2

有理点密度16