概念

皮亚诺公理

用五条公理（0、后继、无前驱、单射、归纳原理）精确定义自然数，归纳原理保证了递归定义与数学归纳法的合法性。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

已是本主题的起点

皮亚诺公理数系理论

01定义

皮亚诺公理用五条公理精确刻画自然数：0 存在、每个数有唯一后继、0 不是任何数的后继、后继映射单射、归纳原理成立。归纳原理保证了递归定义与数学归纳法的合法性。

自然数链：0 出发经后继逐步生成，归纳原理沿链传递性质

① 0 是自然数；② 每个自然数有后继；③ 0 无先驱；④ 后继单射（不同数后继不同）；⑤ 归纳公理：含 0 且对后继封闭的集合是全体自然数。

加法与乘法由递归定义： $a+0=a$ ， $a+S(b)=S(a+b)$ ——归纳原理保证这样的递归定义合法且唯一。

皮亚诺原始公理用二阶归纳（量化一切性质）；一阶 PA 用公理模式替代，由此产生非标准模型——这正是哥德尔不完备性的舞台。

P(0)\wedge\forall n\,(P(n)\to P(S n))\Rightarrow\forall n\,P(n)

皮亚诺 1889 年以符号化语言给出自然数公理（部分归功于戴德金 1888 年的工作）；弗雷格随后在逻辑中定义自然数，公理化算术由此确立。

数学归纳法是所有离散结构证明的基石；程序正确性验证中的循环不变式、递归函数的终止证明都是归纳原理的工程化身。

皮亚诺公理：后继函数与归纳原理0 是自然数；每个自然数有唯一后继；归纳原理如多米诺连锁

n 显示到8