概念

上同调

层上同调度量全局截面与局部数据的差距，Serre 对偶与 Grothendieck-Riemann-Roch 是上同调理论的两大支柱。

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上同调代数几何

01定义

层上同调

H^i(X,\mathcal{F})

度量「局部数据粘合成整体」的障碍：

H^0

是全局截面，

H^1

记录粘合失败的方式。Serre 对偶与 Grothendieck-Riemann-Roch 把上同调变成强有力的计算机器。

开覆盖 {U₁,U₂,U₃} 上的局部数据能否粘合成整体，由 H¹ 裁决

取开覆盖，把「交上的转移函数」模掉「来自各片的平凡差异」，商即 $H^1$ ——上同调是粘合问题的线性代数。

光滑射影簇上 $H^i(X,\mathcal{F})$ 与 $H^{n-i}(X,\mathcal{F}^\vee\otimes\omega_X)$ 对偶——高维上同调被折回低维，维数公式随之可得。

Grothendieck-Riemann-Roch 用 K-理论与陈特征在态射间传输上同调信息，是计数几何（如曲线计数）的核心工具。

H^0(X,\mathcal{F})=\Gamma(X,\mathcal{F}),\quad\dim H^i<\infty\ (\text{射影})

H^i(X,\mathcal{F})^\vee\cong H^{n-i}(X,\mathcal{F}^\vee\otimes\omega_X)\quad(\text{Serre 对偶})

Serre 1955 年把层上同调引入代数几何（FAC）；Grothendieck 与 Cartan 发展导出函子的抽象框架（Tohoku，1957）；此后上同调成为代数几何的标准计算语言。

Riemann-Roch 计算曲线上的线性系维数（经典几何的「存数定理」）；镜像对称中的 Hodge 数比较、编码理论的代数几何码构造都依赖上同调。

de Rham 上同调：闭形式 ≠ 恰当形式拖 k 换绕数：dθ 处处闭合，但绕数不同的环路不是彼此的边界

k 绕数1