概念

三角形与圆

全等与相似判定是三角形理论的骨架，正弦定理与余弦定理将角与边定量关联，解决解三角形的全部问题。

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三角形与圆欧氏几何

01定义

三角形是由三条线段首尾相接围成的封闭图形；圆是到定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。三角形与圆是平面几何最基本的两个研究对象，二者的交汇点（外接圆、内切圆、圆周角）构成初等几何的核心命题群。

三角形的外接圆（外心 O）与内切圆（内心 I）

全等三角形形状与大小完全相同，有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 五种判定；相似三角形形状相同而大小成比例，有 AA、SAS、SSS 三种判定。相似比 $k$ 之下，对应线段之比为 $k$ 、面积之比为 $k^2$ 。

外心是三边中垂线交点（外接圆圆心），内心是角平分线交点（内切圆圆心），重心是中线交点（将中线分为 2:1），垂心是高线交点。欧拉发现：外心、重心、垂心三点共线（欧拉线），且重心分线段之比为 2:1。

圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；直径所对圆周角为直角。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。切线长定理：圆外一点引两条切线长度相等。相交弦定理与切割线定理刻画弦与割线的乘积关系。

\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R

c^2=a^2+b^2-2ab\cos C

S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\quad p=\frac{a+b+c}{2}

欧几里得《几何原本》前四卷系统论述三角形与圆的性质，其中「内角和定理」「勾股定理」至今是平面几何的基石。中国《九章算术》「勾股」章独立给出勾股定理的数值应用；相传泰勒斯最早用演绎法研究几何，发现了「直径所对圆周角为直角」等命题。

三角测量法利用三角形解算距离，是测绘、航海与卫星定位的数学基础；三角形的稳定性使其成为桥梁桁架与建筑结构的首选形状；圆的性质则是轮子、齿轮与旋转机械设计的前提。

三角形的内切圆与外接圆拖动顶点 C：观察内心（角平分线交点）与外心（垂直平分线交点）

顶点 C 高度4.00