概念

辛流形

辛流形是带闭非退化 2-形式的流形，达布定理说明辛几何是「全局」的几何，与黎曼几何（有曲率）形成对比。

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辛流形辛几何

01定义

辛流形

(M,\omega)

是偶数维流形配上闭的非退化 2-形式

\omega

：它赋予每点一个「有向面积」概念。达布定理断言辛流形局部彼此全同（无局部不变量）——辛几何因此是纯粹的全局几何。

辛形式 ω 在每点给出有向面积：平行四边形面积即 ω(u, v)

非退化： $\omega(u,\cdot)=0\Rightarrow u=0$ ，由此每个函数生成一个向量场；闭性： $d\omega=0$ ，由此辛形式在形变下守恒（局部平凡）。

任何点附近都存在坐标 $(q_i, p_i)$ 使 $\omega=\sum dp_i\wedge dq_i$ ——辛几何没有曲率等局部不变量，一切趣味在全局结构。

黎曼度量给「长度」，局部形状千变万化（曲率）；辛形式只给「面积」，局部千篇一律——两种几何互补。

\omega=\sum_{i=1}^n dp_i\wedge dq_i\quad(\text{达布坐标})

d\omega=0,\quad\omega^n\neq 0

「辛」一词由 Weyl 从「复」（complex）类比而来；达布 1882 年证明局部标准形；20 世纪中叶辛几何从力学中独立，1985 年 Gromov 引入伪全纯曲线后爆发式发展。

经典力学的相空间天然带辛结构；镜像对称中辛几何（A-模型）与复几何（B-模型）对偶；辛拓扑的不变量用于判定嵌入障碍。

辛结构：哈密顿流保持面积（det Dφ=1）谐振子流在 (q,p) 相空间旋转初始网格，面积元不变

流时间 t1.30ω 频率1.00