概念

同调与上同调

奇异同调与胞腔同调计算空间的「洞」，上同调群有杯积运算成为环，是不变量中信息最丰富的。

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同调与上同调拓扑学

01定义

同调群

H_n(X)

用代数「数」出空间的 n 维洞：

H_0

数连通分支，

H_1

数一维洞（环柄），

H_2

数空腔。上同调群带杯积成环，信息更丰富，是拓扑不变量中最可计算的家族。

环面的两个独立环路 a、b 生成 H₁ = ℤ²

「闭链模边界」定义同调群：闭链是「无边界」的对象，若它本身是某高维对象的边界则视为平凡——非平凡闭链即洞的见证。

连续映射 $f:X\to Y$ 诱导同态 $f_*:H_n(X)\to H_n(Y)$ ——拓扑问题化为群论问题，「不可能」可用代数证明。

杯积 $\smile$ 使 $H^*(X)=\bigoplus H^n(X)$ 成环； $S^2$ 与 $T^2$ 同调群相同但上同调环不同——环结构区分更细。

H_0(S^2)=\mathbb{Z},\quad H_2(S^2)=\mathbb{Z}

\chi=2-2g\quad(\text{亏格 } g \text{ 曲面})

Betti 数早于群论表述；Noether 1920 年代主张「同调是群而非秩」；Eilenberg-Steenrod 1952 年公理化，Atiyah 等发展出 K-理论等广义上同调。

拓扑数据分析（持久同调数数据之洞）；传感器网络覆盖检测；蛋白质空腔与多孔材料的结构分析。

S¹ 的同调：H₁ = Z 的生成元三角剖分的圆：所有边之和是闭链但非边界——这就是 H₁ 的生成元

步骤0