概念

欧拉乘积

ζ(s) = Π(1-p^-s)^-1 遍历所有素数，把素数分布编码进一个解析函数，是解析数论的出发点。

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欧拉乘积解析数论

01定义

\zeta(s)=\sum n^{-s}=\prod_p(1-p^{-s})^{-1}

（

\mathrm{Re}\,s>1

）：一个加法侧的级数等于一个乘法侧的无穷乘积——算术基本定理的解析化身，也是解析数论的出发点。

等号两边：整数加法世界 = 素数乘法世界

对每个素因子做几何级数展开 $(1-p^{-s})^{-1}=\sum_{k\geq 0}p^{-ks}$ ，无穷乘积的每一项对应唯一的素因子分解——绝对收敛保证重排合法。

$s\to 1^+$ 时 $\zeta(s)\to\infty$ ，而有限个素数的乘积有限——矛盾。欧拉 1737 年给出的证明比欧几里得版更定量。

$\log\zeta(s)=\sum_p\sum_m\frac{1}{m}p^{-ms}$ ：主项 $\sum p^{-s}$ 显示 $\sum_{p\leq x}\frac{1}{p}\sim\log\log x$ ——素数「稀疏却不稀疏」。

\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}},\quad \mathrm{Re}\,s>1

欧拉 1737 年发现乘积公式，首开「用分析研究素数」的先河；黎曼 1859 年进一步把 ζ 延拓到全平面，乘积成为连接零点与素数的桥梁。

素数定理证明的出发点、概率数论的「随机整数模型」、统计物理的配分函数（玻色气体的 ζ 值）、密码学中素数密度的理论依据。

欧拉乘积：∏(1−p^(−2))⁻¹ → ζ(2) = π²/6加入更多素数，部分乘积逼近 π²/6 ≈ 1.6449

k 素因子个数3