概念

群结构

弦切法定义椭圆曲线上的加法群，莫德尔-魏尔定理断言有理点群有限生成。

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群结构算术几何

01定义

椭圆曲线

E: y^2=x^3+ax+b

上以弦切法定义加法：过两点的直线与曲线交出第三点再翻号。这个代数群承载全部算术——莫德尔-魏尔定理断言有理点群

E(\mathbb{Q})

有限生成，其自由部分的秩是数论的核心不变量。

弦切加法：几何构造给出群运算

过 $P,Q$ 的直线与三次曲线第三交点 $R'$ ，定义 $P+Q$ 为 $R'$ 关于 $x$ 轴的对称点；无穷远点 $O$ 为单位元，结合律需射影几何（或函数域除子）验证。

$E(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}^{r}\oplus E_{\text{tors}}$ ：秩 $r$ 与挠结构是核心不变量；挠群仅有 15 种可能（梅祖尔定理，1977）。

费马的无穷下降法演化为 2-下降算法：经塞尔默群逼近秩——计算秩的上界机器，也是 BSD 猜想的实验基础。

E(\mathbb{Q})\cong\mathbb{Z}^{r}\oplus E(\mathbb{Q})_{\text{tors}}

庞加莱 1901 年预见群结构与有限生成猜想；莫德尔 1922 年证明；魏尔 1928 年推广到阿贝尔簇；梅祖尔 1977 年完成挠群分类。

椭圆曲线密码学（ECC，群运算是加密运算）、比特币与 TLS 中的 secp256k1 曲线、整数分解的 Lenstra 算法、有理点计数的算法研究。

椭圆曲线群：弦切律的加法拖 P 的横坐标：过 P 的切线交曲线于第三点，对称点即 2P

P.x 横坐标1.60展示 2P1