概念

法尔廷斯定理

亏格 ≥2 的光滑代数曲线只有有限多个有理点（莫德尔猜想的证明），1983 年菲尔兹奖成果。

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法尔廷斯定理算术几何

01定义

亏格

\geq 2

的光滑代数曲线上只有有限多个有理点——法尔廷斯 1983 年证明莫德尔猜想，一举拿下 1986 年菲尔兹奖。推论：费马方程

x^n+y^n=z^n

对每个

n\geq 4

只有有限多组本原解。

亏格决定有理点的命运

嵌入雅可比簇 + 法尔廷斯乘积定理（阿贝尔簇同态的有限性）：曲线有理点被压缩进雅可比簇的有限结构——高度与模空间理论联合作战。

费马曲线 $x^n+y^n=z^n$ 亏格 $\frac{(n-1)(n-2)}{2}\geq 2$ （ $n\geq 4$ ）：法尔廷斯给出「每个 $n$ 只有有限多解」——离「零解」还差最后一步，由怀尔斯 11 年后补上。

定理不给出点的位置与个数上界（非有效）；有效莫德尔猜想（与 abc 猜想相连）仍未解决——「有限」之外的定量问题留待未来。

g(C)\geq 2\ \Longrightarrow\ \#C(\mathbb{Q})<\infty

莫德尔 1922 年猜想；帕辛、沙法列维奇部分推进；法尔廷斯 1983 年以阿贝尔簇模空间与高度论证完成证明，获 1986 菲尔兹奖；维尼亚斯等改进为有效界的部分结果。

超椭圆方程整数解的有限性（配合 Baker 方法可算）、朗兰兹纲领中自守提升的几何基础、丢番图几何的定性框架（与 Bombieri-Lang 猜想衔接）。

Mordell 猜想：亏格决定有理点切换亏格：g=1 有理点无穷多，g≥2 只有有限个（Faltings 1983）

亏格 g1显示点数16