概念

威尔逊定理

(p-1)! ≡ -1 (mod p) 当且仅当 p 为素数，给出素数的一个充要刻画。

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威尔逊定理初等数论

01定义

p

是素数当且仅当

(p-1)!\equiv -1\pmod p

。一个阶乘同余给出素性的充要刻画——理论上完美，实践上昂贵，却深刻联系着有限域乘法群的配对结构。

配对消去：阶乘之积只剩 ±1 两枚自逆元

模素数 $p$ ，除 $1$ 与 $p-1$ 外每个元素与其逆元配对互消， $(p-1)!\equiv 1\cdot(p-1)\equiv -1$ ；合数模则存在不成对因子使同余失败。

素性判定的理论完美判据，计算代价 $O(p)$ 乘法使其完全不可实用——价值在结构而非算法。

高斯把威尔逊推广到任意有限阿贝尔群：全部元素之积 = 所有 2 阶元素之积；整数情形恰剩 $\pm 1$ 。

p\text{ 是素数}\iff (p-1)!\equiv -1\pmod p

沃林 1770 年转述其学生威尔逊的发现；拉格朗日 1771 年给出首个证明；高斯在《算术研究》中给出配对论证并推广。

素数判定的理论基准、p 进伽马函数的出发点（ $\Gamma_p$ 插值威尔逊同余）、组合设计中的循环差集构造、密码学素性证明算法的辅助引理。

(p−1)! ≡ −1 (mod p)：乘法配对1..p−1 中除 1 与 p−1 外两两配对 a·b≡1

模 p13