概念

贝叶斯定理

P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)：用新证据把先验更新为后验，是从数据反推原因的统计推断引擎。

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贝叶斯定理概率论

01定义

贝叶斯定理

P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}

逆转条件方向：从「原因

A

导致结果

B

的概率」算出「观察到结果

B

后原因

A

的概率」。把先验信念与数据似然相乘、归一化，即得后验信念——学习与推断的统一公式。

低先验下的后验：阳性结果只把概率从 1% 提到约 12%

$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 完全不同：似然 $P(B\mid A)$ 描述机制（患病者多大概率阳性），后验 $P(A\mid B)$ 才是诊断问题（阳性者多大概率患病）——贝叶斯定理是两者之间的转换桥。

分母 $P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)$ 是全概率展开：后验 = 真阳性份额 ÷（真阳性 + 假阳性）。先验极低时假阳性淹没真阳性——「基础率忽视」的数学根源。

后验可作新一轮的先验： $P(A\mid B_1,B_2)\propto P(B_2\mid A)P(B_1\mid A)P(A)$ ——证据按顺序乘入，学习即更新，共轭先验让更新保持同一分布族（Beta-二项、正态-正态）。

P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)}

托马斯·贝叶斯在遗作《论机会问题的求解》（1763 年由友人代为发表）中提出逆概率思想；拉普拉斯 1774 年将其发展为系统方法并用于天文推断；20 世纪经杰弗里斯、萨维奇复兴为贝叶斯学派。

医学诊断与筛查试验的解释、垃圾邮件过滤（朴素贝叶斯）、机器学习中的贝叶斯网络与后验推断、流行病学中患病率的修正估计。

P(H|E) = P(E|H)P(H) / P(E)低先验 + 高假阳性：即使检测阳性，后验概率也可能很低

P(H) 先验0.05P(E|H) 灵敏度0.95P(E|¬H) 假阳性0.10