概念

伊藤等距

E[(∫H dW)²]=E[∫H² dt] 保证伊藤积分的 L² 理论与收敛性。

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伊藤等距随机分析

01定义

伊藤等距是随机积分的毕达哥拉斯定理：

E\left[(\int H\,dW)^2\right]=E\left[\int H^2\,dt\right]

——随机积分的二次矩等于被积函数的能量。它把随机积分严格构造在

L^2

空间上，并保证积分过程是鞅。

伊藤等距：随机积分的能量守恒

先对简单可料过程（左端点阶梯）定义积分——有限和，无悬念；等距性使积分映射在 $L^2$ 上一致连续，向一般可料过程唯一延拓，与实分析构造 Lebesgue 积分同构。

等距的推论： $E[\int H\,dW]=0$ 且积分过程为鞅；交叉项 $E[(\int H\,dW)(\int K\,dW)]=E[\int HK\,dt]$ 给出协方差结构。

$\int_0^t H^2\,ds<\infty$ a.s. 时积分仍可按局部鞅方式定义（局部化）；这正是金融模型中允许无界策略的数学许可。

E\left[\left(\int_0^t H_s\,dW_s\right)^{2}\right]=E\left[\int_0^t H_s^2\,ds\right]

伊藤清 1944 年在《论随机过程》中建立随机积分与等距构造；论文在战时日本发表，1950 年代经美国学界重新发现后成为现代随机分析的基石。

随机微分方程解的存在性证明、金融数学中鞅测度定价、信号处理的卡尔曼-布西滤波、SPDE 数值格式的误差分析。

E[(∫f dW)²] = E[∫f² dt]增大步数 N：离散和的样本方差收敛到 ∫f²dt（f = σ 常数时 = σ²T）

σ 振幅1.00N 步数50