概念

滤波

卡尔曼滤波在线性高斯情形递推估计状态，非线性滤波是随机分析的活跃分支。

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滤波随机分析

01定义

滤波问题：从含噪观测

dY_t=h(X_t)dt+dV_t

中实时提取隐状态

X_t

的后验信息。卡尔曼-布西滤波在线性高斯情形给出精确递推；库什纳-斯特拉托诺维奇方程刻画一般非线性情形的条件分布演化——贝叶斯更新在连续时间的形态。

滤波：从噪声观测中实时追踪隐藏状态

线性高斯系统下后验始终为高斯：只需追踪均值 $\hat X$ 与协方差 $P$ ； $P$ 满足 Riccati 方程，增益 $K=PH^TR^{-1}$ 在模型信任与观测信任间自动配权。

库什纳-斯特拉托诺维奇方程给出条件分布 $\pi_t$ 的 SDE：预测项（伴随生成元）+ 更新项（似然加权残差）——Zakai 方程用非归一化测度避免除法，便于理论分析。

非线性非高斯情形无闭式解：用一群带权粒子逼近后验，重采样对抗权重退化——蒙特卡洛对滤波方程的离散化，已成跟踪与定位的工业标准。

d\hat{X}_t=A\hat{X}_t\,dt+PH^TR^{-1}\bigl(dY_t-H\hat{X}_t\,dt\bigr)

维纳 1940 年代解决平稳线性滤波；卡尔曼 1960 年与布西 1961 年给出递推形式；库什纳与斯特拉托诺维奇 1960 年代各自建立非线性方程；阿波罗导航是首个著名应用。

卫星与飞行器导航（GPS/INS 融合）、金融的高频微观结构估计、神经科学脑机接口解码、气象数据同化（集合卡尔曼滤波）。

Kalman 滤波：从带噪观测估计隐藏状态推进时间：滤波估计逐步接近真实状态，方差不断缩小

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