概念

Itô过程

伊藤公式（含二阶项修正）是随机链式法则，SDE 解的存在唯一由 Lipschitz 与线性增长条件保证。

所属主题：随机分析 ↗

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先修概念

鞅表示随机分析伊藤等距随机分析

当前概念

Itô过程随机分析

进阶概念

强解与弱解随机分析 HJM框架金融数学随机最优控制金融数学维纳过程随机过程

01定义

Itô 过程是「漂移 + 扩散」的随机轨迹：

dX_t=\mu_t\,dt+\sigma_t\,dW_t

。Itô 公式是它的链式法则，多出一个

\frac12 f''\sigma^2\,dt

修正项——二阶项不可忽略是随机微积分与经典微积分的分水岭。

Itô 过程：漂移趋势上叠加扩散抖动

02核心要点

Itô 公式

$f(X_t)=f(X_0)+\int f'\,dX+\frac12\int f''\sigma^2\,dt$ ：泰勒展开到二阶即止——更高阶项因 $(dW)^n$ 的高阶无穷小性消失。指数解： $dX=\mu X\,dt+\sigma X\,dW\Rightarrow X_t=X_0e^{(\mu-\sigma^2/2)t+\sigma W_t}$ ，修正项 $-\sigma^2/2$ 出人意料。

二次变差

$[X]_t=\int_0^t\sigma_s^2\,ds$ ：Itô 过程的指纹。它是 Itô 公式修正项的根源，也是统计中已实现波动率的理论基础。

生成元与 PDE

Itô 过程的无穷小生成元 $\mathcal{L}=\mu\partial_x+\frac12\sigma^2\partial_{xx}^2$ ；Feynman-Kac 把 $\mathcal{L}$ 的抛物型方程解写成期望——SDE 与 PDE 的双向桥梁。

03关键公式

dX_t=\mu_t\,dt+\sigma_t\,dW_t,\quad df(X_t)=f'\,dX_t+\tfrac12 f''\,d[X]_t

04历史沿革

伊藤清 1944 年引入随机微分方程与 Itô 公式；斯特拉托诺维奇给出中点积分的另一版本（物理偏好）；两者经修正项相互转换。

05应用与延伸

金融的几何布朗运动（股价模型）、物理的朗之万方程、神经科学的扩散逼近、滤波理论的状态方程。

06交互演示

几何布朗运动：dS = μS dt + σS dW对数正态股价模型：漂移 μ 与波动 σ 决定路径形态

漂移 μ0.10波动 σ0.30

07相关概念

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