概念

停时

停时是「不依赖未来」的随机时刻，可选停时定理保证公平游戏不会被停止策略击败，Wald 等式给出随机和的期望。

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停时随机过程

01定义

停时

\tau

是「不看未来即可判断是否停止」的随机时刻：

\{\tau\leq n\}\in\mathcal{F}_n

。可选停时定理断言鞅在停时处期望不变——任何停止策略都无法击败公平博弈；Wald 等式给出随机和的期望。

停时：只凭过去信息决定的停止时刻

首达时、首出时、首次连续两次成功——都是停时；「最高点时刻」不是（需预知未来）。判别标准：此刻能否只凭已见信息说出「停」。

有界停时 + 鞅 $\Rightarrow$ $E[X_\tau]=E[X_0]$ ；条件放宽需谨慎（一致可积性）——圣彼得堡悖论正是无界停时的教训。

独立同分布增量在停时 $\tau$ 处： $E[S_\tau]=E[X_1]E[\tau]$ （条件满足时）——随机和期望的乘法公式，序贯分析的核心。

\{\tau\leq n\}\in\mathcal{F}_n\ \forall n,\qquad E[X_\tau]=E[X_0]

杜布 1950 年代引入停时与可选抽样定理；瓦尔德 1945 年《序贯分析》在统计检验中率先使用；连续时间版本由迈耶完善。

序贯检验的停止规则、最优停时（美式期权 = 最优停时问题）、赌博策略的不可能性证明、随机算法的期望运行时间分析。

停时：首次命中边界 ±4随机游走一旦 |S| = 4 即停：T 是停时，E[S_T] = E[S₀] = 0（可选停止）

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