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数学知识体系

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⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

一元二次函数、方程和不等式

必修第一册 · 高一至高三

等式与不等式的性质，基本不等式，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系（三个二次）。

「三个二次」（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）是高中代数的主线交汇点：以函数图象为纲，方程的根与不等式的解集互相翻译，配合基本不等式构成最值问题的基本工具箱。

§ 01

等式与不等式的性质

不等式性质：同向可加（a>b, c>d⇒a+c>b+da>b,\ c>d\Rightarrow a+c>b+d）；乘正不变号、乘负变号；正数同向可乘、可取倒数（倒数法则：同号两数取倒数大小反向）。性质是放缩与比较大小法的依据。
§ 02

基本不等式

a+b2≥ab\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}（a,b>0a,b>0，当且仅当 a=ba=b 取等）。使用三原则「一正二定三相等」：各项为正、和或积为定值、等号能取到。典型应用：和定求积最大、积定求和最小，以及配凑变形（如 x+4xx+\dfrac{4}{x} 型）。
§ 03

一元二次不等式

解 ax2+bx+c>0ax^2+bx+c>0：先看 aa 的符号（必要时分类讨论），结合判别式画抛物线草图，解集读图象在 xx 轴上/下方的区间。口诀「大于取两边、小于取中间」（a>0a>0 且有两根时）。
§ 04

三个二次的互化

方程 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 的根即函数 y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 图象与 xx 轴交点的横坐标，也是不等式解集的端点。含参问题讨论顺序：先看二次项系数是否为 0，再看判别式，最后比较两根大小。
§ 05

含参不等式的讨论

参数影响开口方向、判别式与根的相对位置，三类讨论分别对应不同的解集结构。恒成立问题转化为最值：f(x)>af(x)>a 恒成立等价于 f(x)min⁡>af(x)_{\min}>a。

核心公式速查

基本不等式a+b2≥ab (a,b>0)\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ (a,b>0)
取等条件a=ba=b

学习建议与易错点

  • 基本不等式「一正二定三相等」逐项自查，等号取不到时最值不在等号处取得，需换单调性法。
  • 解一元二次不等式先确保二次项系数为正，再定解集区间，含参时按「系数→判别式→根序」三层讨论。
  • 恒成立与存在性问题方向相反：恒成立对最值要求苛刻（>max⁡>\max 或 <min⁡<\min），存在性只须过线即可。
  • 画抛物线草图是二次不等式的标准动作，比记口诀可靠。