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数学知识体系

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⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

成对数据的统计分析

选择性必修第三册 · 高一至高三

成对数据的散点图与线性相关，一元线性回归模型（最小二乘法），独立性检验（2×2 列联表与卡方检验）。

成对数据的统计分析研究两个变量的相关关系：散点图直观判断、相关系数量化线性相关程度、线性回归建立预测模型、独立性检验判断分类变量的关联。

§ 01

散点图与相关关系

成对样本 (xi,yi)(x_i,y_i) 描点得散点图，直观判断正相关、负相关或无相关，以及线性还是非线性。相关关系不同于函数关系，也不同于因果关系。
§ 02

样本相关系数

r=∑(xi−xˉ)(yi−yˉ)∑(xi−xˉ)2∑(yi−yˉ)2r=\dfrac{\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum(x_i-\bar{x})^2\sum(y_i-\bar{y})^2}}，∣r∣|r| 越接近 1 线性相关越强，越接近 0 越弱；r>0r>0 正相关、r<0r<0 负相关。
§ 03

线性回归

最小二乘法使残差平方和最小，回归直线 y^=b^x+a^\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a} 必过样本中心点 (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})，据此可反求参数；预报时把 xx 代入回归方程。
§ 04

残差分析与 $R^2$

残差 ei=yi−y^ie_i=y_i-\hat{y}_i，残差点均匀分布在横轴附近说明模型合适；R2R^2（决定系数）越接近 1 拟合越好。比较模型优劣看 R2R^2 或残差平方和。
§ 05

独立性检验

由 2×22\times2 列联表计算 χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}，与临界值表比较：χ2\chi^2 越大，越有把握认为两变量有关联，结论需写明把握程度。

核心公式速查

回归直线过中心点a^=yˉ−b^xˉ\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}
卡方统计量χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\chi^2=\dfrac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}

学习建议与易错点

  • 回归直线必过 (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})：用这一性质检验计算或快速求参数。
  • 相关不等于因果：答题结论只写「存在线性相关关系」，不能写成「导致」。
  • 独立性检验先补全列联表再代公式，对照临界值表写出「有百分之多少的把握」。
  • 回归预报只在样本 xx 的取值范围内可信，外推预测须注明不可靠。