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数学知识体系

Observatory Archive of Mathematics
⌕2026/8/31
知识要点 · 高中数学

统计

必修第二册 · 高一至高三

简单随机抽样与分层随机抽样，频率分布直方图、百分位数，用样本估计总体。

必修第二册的统计完成从抽样到估计的完整流程：简单随机抽样与分层随机抽样保证样本代表性，频率分布直方图与百分位数描述数据形态，用样本的数字特征估计总体。

§ 01

简单随机抽样

从总体 NN 个个体中等可能地抽取 nn 个：抽签法与随机数法两种实现。要求总体个数有限、逐个抽取（不放回时每个体入样概率相等）。
§ 02

分层随机抽样

总体由差异明显的几部分组成时，按比例从各层抽取（各层样本量按层占比分配）。各层独立抽样保证每层代表性，整体入样概率仍相等。分层是提高估计精度的标准手段。
§ 03

频率分布直方图

纵轴为频率/组距：小长方形面积之和为 1。读图应用：估计比例（面积求和）、估计平均数（各组中点×频率求和）、找中位数（两侧面积各半）。组距与组数的选择影响图的平滑程度。
§ 04

百分位数

第 pp 百分位数 PpP_p：至少有 p%p\% 的数据不超过它、至少有 (100−p)%(100-p)\% 的数据不低于它。求法：排序后按 i=n×p%i=n\times p\% 定位（整数取相邻两数平均，非整数向上取整位置）。四分位数 Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 与箱线图是数据分析常用工具。
§ 05

用样本估计总体

数字特征两条线：集中趋势（平均数、中位数、众数）与离散程度（极差、方差、标准差）。样本方差公式 s2=1n∑(xi−xˉ)2s^2=\dfrac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2，数据线性变换下方差按系数平方缩放。估计结论要说明抽样方法的合理性与局限性。

核心公式速查

样本平均数xˉ=1n∑i=1nxi\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
样本方差s2=1n∑i=1n(xi−xˉ)2s^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2

学习建议与易错点

  • 频率分布直方图纵轴是「频率/组距」不是频率：求频率要乘组距（面积），这是最大易错点。
  • 分层抽样先算比例再分配名额，名额取整时注意凑总数恰好为 nn。
  • 估计平均数用组中点代表整组数据，误差意识要写进答题表述。
  • 数据整体加 aa 方差不变、乘 kk 方差乘 k2k^2，这条性质解决大多数方差小题。