知识要点 · 中学数学

分式

数与式 · 七至九年级

分式的概念与基本性质，分式的约分、通分与四则运算，分式方程的检验。

八年级下册的分式把「数到式」再推进一步：分母中含有字母的式子带来新问题——分式有意义的条件、增根检验。分式运算是解分式方程与高中代数式变形的基础。

§ 01

分式的概念与基本性质

形如

\dfrac{A}{B}

（

A

、

B

是整式且

B

含字母）的式子叫分式。分式有意义的条件是分母不为零：

\dfrac{1}{x-2}

要求

x\neq 2

；分式值为零要求分子为零且分母不为零。分式的基本性质：分子分母同乘（除）同一个不为零的整式，分式的值不变——这是约分通分的依据。

§ 02

约分把分式化为最简分式（分子分母无公因式）：先分解因式再约去公因式。通分把异分母分式化为同分母：最简公分母取各分母系数的最小公倍数、所有因式的最高次幂。

§ 03

同分母分式加减分母不变分子相加减；异分母先通分再加减。乘法分子分母分别相乘后约分；除法化为乘除式的倒数。运算过程中随时分解因式、随时约分能大幅简化计算，结果必须化为最简分式。

§ 04

分母含未知数的方程叫分式方程。解法：两边同乘最简公分母去分母化为整式方程求解，最后必须检验——把根代入最简公分母，若使分母为零则为增根必须舍去。无解的两种情形：整式方程本身无解，或解全是增根。

分式基本性质

\dfrac{A}{B}=\dfrac{A\cdot M}{B\cdot M}\ (M\neq 0)

分式除法

\dfrac{A}{B}\div\dfrac{C}{D}=\dfrac{A}{B}\times\dfrac{D}{C}