概率初步
统计与概率 · 七至九年级随机事件与必然事件，用列举法（列表、树状图）求概率，用频率估计概率。
九年级的概率初步把小学的可能性认识正式化：定义随机事件的概率，掌握列举法（列表、树状图）求古典概型概率，理解频率与概率的关系，完成初中概率学习的闭环。
§ 01
事件的分类与概率
必然事件（一定发生）、不可能事件（一定不发生）与随机事件（可能发生也可能不发生）。概率 在 0 与 1 之间：必然事件为 1，不可能事件为 0，随机事件介于两者之间。
§ 02
古典概型与列举法
所有结果有限且等可能时，。两步试验用列表法（两步各为行与列）或画树状图（多步通用）把全部等可能结果不重不漏列出，再计数求概率。
§ 03
有放回与无放回
摸球问题分「放回」与「不放回」：放回时两次试验结果数相乘（如 3 球放回摸两次共 9 种），不放回时第二次选择减少（共 6 种）。列表时不放回要把对角线格标记为不可能。
§ 04
频率与概率
频率 = 某事件发生次数 ÷ 试验总次数，随试验而变化；概率是客观的固定值。大量重复试验中频率稳定在概率附近，故可用频率估计概率（如射手命中率、种子发芽率）。频率是估计手段，概率是估计目标。
§ 05
游戏公平与方案设计
判断游戏公平：计算双方获胜概率是否相等；不公平时调整规则（改分值、改条件）使双方期望获益相等。概率与几何面积结合（撒豆子模型）也是常见题型。
核心公式速查
古典概型
学习建议与易错点
- 树状图与列表法是拿满概率题的保险：不凭直觉数结果，务必把样本空间列全。
- 审题第一问必问「放回还是不放回」，两者样本空间大小不同，概率自然不同。
- 「至少发生一次」类问题可用反向思路：。
- 频率估计概率要强调「大量试验」：试验次数越多估计越可靠，这是统计思想的核心。