知识要点 · 中学数学

有理数与实数

数与式 · 七至九年级

正负数与数轴，相反数与绝对值，有理数的四则运算；平方根、立方根与实数，估算与近似。

七年级上册的有理数是初中代数的起点：数系第一次扩充，引入负数与数轴；八年级上册继续扩充到实数，引入平方根、立方根与无理数，完成初中阶段数系的完整图景。

§ 01

正负数与数轴

用负数表示相反意义的量（收入支出、升降）。数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线：任何有理数都能用数轴上的点表示，右边的数总比左边的大——数轴让「数」第一次有了「形」的对应。

§ 02

只有符号不同的两个数互为相反数，

a

的相反数是

-a

。绝对值

|a|

是数轴上点到原点的距离：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。绝对值方程与化简

|a-b|

是常见题型。

§ 03

加减法核心是符号法则：同号相加取相同符号，异号相减取绝对值大的符号；减法统一为加相反数

a-b=a+(-b)

。乘法先定符号再算绝对值（同号得正、异号得负）；除法转化为乘倒数；乘方

a^n

中注意

(-2)^4

与

-2^4

的区别。混合运算遵循先乘方、再乘除、后加减，括号优先。

§ 04

若

x^2=a

（

a\ge 0

），则

x

是

a

的平方根，正数有两个互为相反数的平方根，算术平方根指非负的那个（

\sqrt{a}

）；若

x^3=a

，则

x

是

a

的立方根

\sqrt[3]{a}

，正负数都有唯一立方根。

\sqrt{2}

这类无限不循环小数叫无理数；有理数与无理数统称实数，实数与数轴上的点一一对应。

§ 05

会估计无理数的大小：

\sqrt{10}

介于 3 与 4 之间（因为

3^2=9<10<16=4^2

），进一步可逼近到 3.1 与 3.2 之间。近似数与有效数字的概念：四舍五入到哪一位就说精确到哪一位。

绝对值定义

|a|=\begin{cases}a,&a>0\\0,&a=0\\-a,&a<0\end{cases}

减法转加法

a-b=a+(-b)

除法转乘法

a\div b=a\times\dfrac{1}{b}\ (b\neq 0)