知识要点 · 大学数学

常微分方程

数学专业 · 本科阶段

初值问题解的存在唯一性、一阶方程解法、线性方程组、稳定性初步。

常微分方程研究未知函数与其导数之间的关系：从一阶方程的可解类型出发，到线性方程组的通解结构，再到初值问题解的存在唯一性与稳定性，最终展示微分方程作为「刻画自然规律的通用语言」的力量。

§ 01

一阶方程

可解类型：变量分离方程

\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)

、一阶线性方程（常数变易法）、齐次方程、伯努利方程

y′+p(x)y=q(x)y^n

（代换化为线性）、恰当方程与积分因子。掌握「识别类型 → 对应方法」的流程。

§ 02

皮卡逐次逼近法构造近似解序列

\varphi_{n+1}(x)=y_0+\int_{x_0}^x f(t,\varphi_n(t))dt

，在

f

关于

y

满足利普希茨条件时证明其一致收敛到唯一解。这是数学分析技巧（一致收敛、不动点思想）在微分方程中的经典应用。

§ 03

高阶线性方程与线性方程组理论平行：解集合构成线性空间，齐次方程组通解由基本解组线性组合，非齐次通解 = 齐次通解 + 特解。常系数情形用特征方程求解：实根对应

e^{\lambda x}

，重根乘

x

的幂，复根对应

e^{\alpha x}\cos\beta x

、

e^{\alpha x}\sin\beta x

。

§ 04

李雅普诺夫稳定性研究解的长期行为：平衡点的稳定、渐近稳定与不稳定。对线性系统

x′=Ax

，特征值实部全负则渐近稳定；非线性系统用线性化方法判断局部稳定性，李雅普诺夫函数法处理不能线性化的情形。

一阶线性通解

y=e^{-\int p\,dx}\left(C+\int q\,e^{\int p\,dx}dx\right)

特征方程

y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\dots+a_ny=0\Rightarrow\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\dots+a_n=0

线性化稳定判据

\operatorname{Re}\lambda_i(A)<0\ \forall i\Rightarrow\text{渐近稳定}