知识要点 · 大学数学

数学分析

数学专业 · 本科阶段

极限、连续、微分、积分与级数的严格理论（ε-δ 语言），一至三学期的基础核心课，训练严格证明能力。

数学分析是数学专业的「第一门真正的数学课」：它以 $\varepsilon$ - $\delta$ 语言严格刻画极限，依次建立实数理论、连续函数、微分学、积分学与级数理论，把中学微积分从「会算」提升到「会证」，是后续实变函数、复变函数、泛函分析与微分方程的共同基础。

§ 01

实数理论与极限

从戴德金分割或确界原理出发建立实数系的完备性（确界存在、单调有界收敛、闭区间套、聚点、柯西收敛、有限覆盖六大定理相互等价），随后用

\varepsilon

N

语言定义数列极限、

\varepsilon

\delta

语言定义函数极限，严格证明极限的四则运算法则、夹逼准则与两个重要极限

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

与

\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e

。

§ 02

连续是「逐点」性质，一致连续是「全局」性质：

f

在

I

上一致连续指对任意

\varepsilon>0

存在统一适用的

\delta

。闭区间上连续函数的三大定理（有界性、最值、介值）与康托定理（闭区间连续必一致连续）是本章核心，闭区间的紧性是这些定理成立的关键。

§ 03

导数定义为差商极限，微分是「线性主部」。罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理构成微分学的骨架，由此推出洛必达法则、泰勒公式（带佩亚诺余项与拉格朗日余项）与函数单调性、凹凸性、极值的完整判别体系。泰勒公式是局部逼近的核心工具。

§ 04

黎曼积分通过分割、取和、求极限定义，达布上下和理论给出可积的充要条件；微积分基本定理连接微分与积分（牛顿-莱布尼茨公式）。级数部分研究数项级数（正项级数判别法、交错级数、绝对收敛）、函数项级数与幂级数（收敛半径、阿贝尔定理），以及傅里叶级数的收敛性。

ε-δ 定义

\forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0:\ 0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-A|<\varepsilon

泰勒公式

f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)

牛顿-莱布尼茨

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a),\ F^{′}=f

柯西收敛准则

\{a_n\}\text{ 收敛}\iff\forall\varepsilon>0\,\exists N:\ m,n>N\Rightarrow|a_m-a_n|<\varepsilon