概念

同态与同构

同态是保持运算的映射，其核是正规子群，第一同构定理说明「像等于商去核」，是结构比较的核心工具。

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同态与同构抽象代数

01定义

群同态是保持运算的映射：

\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)

。同构是双向同态（结构完全相同）；同态的核必为正规子群，第一同构定理「像 ≅ 商去核」是结构比较的核心工具。

同态 φ 把核压成单位元：G/ker φ ≅ im φ

$\varphi(e_G)=e_H$ ， $\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}$ ——结构自动保持；核 $\ker\varphi=\varphi^{-1}(e)$ 度量「信息的损失量」。

核必正规（ $gNg^{-1}=N$ ）；反之正规子群都是某个同态的核——正规性恰是「可以做商」的条件。

第一定理「商去核得像」；第二定理处理子群与正规子群的交并；第三定理说明「两次商等于一次商」——结构分解的完整工具箱。

G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi

\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)

「同构」一词随戴金、韦伯 19 世纪末的抽象代数著作定型；诺特 1920 年代以同态与理想论重建环论，「同态基本定理」成为一切代数结构的通用定理。

编码理论用商群构造纠错码；同余（模 n 算术）是计算机取余运算的代数基础；程序验证中的抽象解释本质是结构间的保运算映射。

C₆ ≅ C₂×C₃：中国剩余同构k mod 6 ↔ (k mod 2, k mod 3) 一一对应且保持运算

元素 k4