概念

代数拓扑

奇异同调与胞腔同调把拓扑空间与链复形联系起来，同调群是连续变形下的不变量（同伦不变性）。

阅读路径

参考可汗学院 Get ready 机制：先修概念 → 当前概念 → 进阶概念，✓ 表示已读。

代数拓扑同调代数

01定义

代数拓扑把空间「代数化」：单纯剖分或奇异单形产生链复形，其同调群

H_n(X)

数出 n 维洞、基本群记录环路的缠绕。同伦不变性保证这些代数指纹在连续形变下稳定。

空间剖分为单形后，链复形的同调自动数出洞

奇异同调用一切连续单形（定义普适），胞腔同调用 CW 结构的胞腔（计算高效）；两者同构——定义的自由度换计算的效率。

同伦等价的空间有同构的同调群与基本群；由此可用代数证明几何不可能： $\mathbb{R}^m\not\cong\mathbb{R}^n$ （ $m\neq n$ ）、不动点定理等。

$\chi=\sum(-1)^n\operatorname{rank}H_n=V-E+F$ ——单形计数与同调维数给出同一个数，组合与拓扑在此合一。

\chi(X)=\sum_{n}(-1)^n\operatorname{rank}H_n(X)

H_n(S^k)=\begin{cases}\mathbb{Z},&n=0,k\\ 0,&\text{其余}\end{cases}

黎曼的贝蒂数（1857）、庞加莱的同调与基本群（1895）奠基；诺特指出同调应为群（1925）；艾伦伯格-斯廷罗德 1945 年给出同调公理，代数拓扑成为公理化机器。

持续同调分析点云数据形状（材料孔隙、神经连接）；机器人构型空间的拓扑障碍分析；凝聚态拓扑物态的分类（K 理论）。

映射度：z ↦ zⁿ 的缠绕数源圆上的点绕目标圆 n 圈：映射度 n 是映射的同伦不变量

n 缠绕数1