概念

导出范畴

把复形与拟同构形式化得到导出范畴，同伦范畴局部化后导出函子成为真正的函子，是现代同调代数的框架。

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导出范畴同调代数

01定义

导出范畴

D(\mathcal{A})

把链复形当作对象，并把拟同构（诱导同调同构的态射）形式地变成同构——「同调相等」成为「真的相等」。这是同调代数的自然栖息地，导出函子在此成为真正的函子。

导出范畴把拟同构（虚线）形式地反转为同构

先取同伦范畴（模掉同伦的态射），再对拟同构局部化；对象仍是复形，但态射集被「增补」——格罗滕迪克学派的精妙构造。

左导出函子 $LF$ 在 $D$ 中就是普通函子（用 K-平坦消解）；不必再逐层摆弄消解，同调代数获得概念上的解放。

$D(\mathcal{A})$ 自带三角结构（正合三角代替正合列）；Serre 对偶、镜像对称的导出等价都在此语言中表述。

D(\mathcal{A})=K(\mathcal{A})[\text{拟同构}^{-1}]

X\to Y\to Z\to X[1]\quad(\text{正合三角})

格罗滕迪克 1961 年 Tohoku 论文埋下种子；韦尔迪耶 1967 年博士论文正式构造导出范畴；1980 年代后成为代数几何与表示论的标准语言（导出等价、镜像对称）。

代数几何的凝聚层导出范畴与对偶理论；表示论的导出等价（tilting 理论）；镜像对称「同调镜像对称猜想」以导出范畴等价表述。

准同构：同调相同 ⟹ 导出范畴中同构两个链复形同调相同（准同构），在导出范畴中视为同一对象——局部化抹掉了准同构

演示步骤0