长正合列
短正合列诱导同调的长正合列（蛇形引理），把局部信息拼接为全局信息，是同调代数最重要的推理工具。
所属主题：同调代数 ↗阅读路径
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01定义
短正合列 经同调函子作用后，正合性可能在中途断裂；蛇形引理产生连接同态 ，把断裂处缝合为长正合列——局部信息被精确拼接为全局信息。
02核心要点
01
蛇形引理
两个短正合列之间的态射给出六项正合列 ——同调代数第一推理工具。
02
Mayer-Vietoris
空间被两个开集覆盖时，其同调由两开集与交的同调经长正合列拼出——「局部算出整体」的典范算法。
03
五引理与九引理
长正合列上「五格已知四格同构则第五格同构」——结构比较的流水线作业，无数定理的证明骨架。
03关键公式
04历史沿革
蛇形引理由艾伦伯格-斯廷罗德 1940 年代在同调公理化中确立；「长正合列」成为代数拓扑标准机器，后经格罗滕迪克移植到层上同调与代数几何。
05应用与延伸
拓扑空间的同调递推计算（Mayer-Vietoris）、代数几何的层上同调长正合列、K-理论的 Bott 周期性证明——一切「由局部算整体」的场合。
06交互演示
短正合列诱导同调长正合列0→A→B→C→0 ⇒ ⋯→H₁(A)→H₁(B)→H₁(C)→H₀(A)→H₀(B)→H₀(C)→0