概念

层上同调

层编码局部-整体数据，Čech 与导出函子定义的上同调给出全局截面与障碍信息，Serre 对偶联系高低次上同调。

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层上同调同调代数

01定义

层把局部数据组织到开集上；层上同调

H^i(X,\mathcal{F})

度量「局部截面粘合成整体」的障碍：

H^0

是全局截面，

H^1

记录粘合失败的方式。它是代数几何与复几何中最强有力的计算工具。

层上同调：局部良好、整体粘合失败的差距由 H¹ 记录

Čech 上同调直接处理开覆盖上的转移函数；导出函子上同调用内射消解——两者在良好空间上一致，各擅胜场。

$H^1$ 分类线丛的扭曲方式； $H^2$ 容纳障碍类；层上同调为零的定理（如凝聚层在仿射簇上高阶上同调消失）是存在性定理的引擎。

光滑射影簇上 $H^i(\mathcal{F})$ 与 $H^{n-i}(\mathcal{F}^\vee\otimes\omega)$ 对偶——上同调信息被折半，Riemann-Roch 类定理随之而来。

H^0(X,\mathcal{F})=\Gamma(X,\mathcal{F})

H^i(X,\mathcal{F})=R^i\Gamma(\mathcal{F})

Leray 1945 年为代数拓扑发明层；Serre 1955 年 FAC 把层上同调引入代数几何，一举现代化该领域；Grothendieck 的 Tohoku（1957）以导出函子统一框架。

Riemann-Roch 计算曲线上的函数空间维数；复几何的 Hodge 分解、代数几何的相交理论、数学物理的共形场论配分函数都依赖层上同调。

Cech 上链：截面拼接的障碍两个开弧上的截面在交点上差值不一致时无法粘成全局截面，其差代表 H¹ 元素

d_A 交点 A 处差0.80d_B 交点 B 处差0.80