概念

核与像

零空间（核）与值域（像）的维数满足秩-零化度定理，这是线性代数中最重要的维数公式。

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核与像线性代数

01定义

线性映射

T:V\to W

的核

\ker T

是被压到零的向量（信息损失），像

\operatorname{im} T

是能到达的范围。秩-零化度定理

\dim\ker T+\dim\operatorname{im} T=\dim V

是线性代数中最重要的维数公式。

核（压成零的部分）与像（到达的范围）：维数互补

对 $m\times n$ 矩阵： $\operatorname{rank} A+\operatorname{nullity} A=n$ ——「自由变量数 + 约束数 = 未知量数」，线性方程组解的结构一言以蔽之。

$T$ 单射 $\iff\ker T=\{0\}$ ； $T$ 满射 $\iff\operatorname{im}T=W$ ；同维空间中单射、满射、双射三者等价——有限维的「福利」。

$V/\ker T\cong\operatorname{im}T$ ：商掉损失的信息，剩下的与像完全同构——线性代数与抽象代数共享的结构性定理。

\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T=\dim V

V/\ker T\cong\operatorname{im}T

秩与零度的思想随高斯消元与 19 世纪行列式理论成形；「第一同构定理」的抽象表述由诺特学派在 1920 年代统一给出，覆盖群、环、模等一切代数结构。

方程组解的存在唯一性判别、控制系统的可控性（像=全空间）、误差分析中的病态问题（近零核）——核与像是线性建模的诊断仪。

核与像：rank-1 变换把平面压成直线改变 k：像空间旋转，核空间（被压成 0 的直线）不动

k 行倍数1.00