概念

正交性

正交基使一切计算对角化，格拉姆-施密特过程把任意基转化为正交基，是 QR 分解与谱定理的基础。

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正交性线性代数

01定义

内积赋予向量空间长度与角度后，正交（内积为零）成为最有用的几何关系：正交基使一切计算解耦。格拉姆-施密特过程把任意基逐步改造为正交基，是 QR 分解与谱定理的算法源头。

格拉姆-施密特正交化：v₂ 减去沿 u₁ 的分量得 u₂ ⊥ u₁

正交基下坐标即内积 $c_i=\langle v,e_i\rangle$ ，无需解方程；帕塞瓦尔等式 $\|v\|^2=\sum c_i^2$ 把长度化为系数平方和。

逐个减去在已有方向上的投影： $u_k=v_k-\sum_{i<k}\frac{\langle v_k,u_i\rangle}{\langle u_i,u_i\rangle}u_i$ ——线性无关保证过程不中断。

子空间 $W$ 的正交补 $W^\perp$ 满足 $V=W\oplus W^\perp$ ；行空间的正交补是零空间——四大基本子空间的正交关系是线性代数的全景图。

\langle u_i,u_j\rangle=\delta_{ij}

V=W\oplus W^\perp,\quad(\operatorname{row}A)^\perp=\ker A

正交化过程由拉普拉斯、施密特（1907）先后给出并命名；正交函数系（傅里叶级数、勒让德多项式）的研究使其成为分析学与数值方法的共同工具。

QR 分解与最小二乘、傅里叶展开的正交基观点、量子态的正交测量基、计算机图形学的相机正交化——正交性让复杂系统解耦。

Gram-Schmidt：把 {u, v} 变成正交基分步观察：投影 → 减去投影 → 归一化

step 正交化步骤0θ 夹角1.30|v|1.60