基本定理
哈恩-巴拿赫延拓泛函、一致有界原理与开映射定理（含逆算子定理）是泛函分析三大支柱。
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01定义
泛函分析三大定理撑起整个理论：哈恩-巴拿赫定理保证泛函延拓与空间-对偶分离；一致有界原理把逐点有界升级为算子范数有界；开映射定理保证满射有连续逆。每一个都是贝尔纲定理的杰作。
02核心要点
01
哈恩-巴拿赫
子空间上的有界泛函可保范延拓到全空间；推论：对偶空间足够丰富以分离任意两点——弱拓扑与对偶理论的起点。
02
一致有界原理
算子族 若对每点有界，则范数一致有界（巴拿赫-斯坦因豪斯）；傅里叶级数发散性、数值格式稳定性的判定工具。
03
开映射与闭图像
巴拿赫空间间的连续满射是开映射（逆连续）；闭图像定理：图像闭 连续——无界算子定义域问题的守护者。
03关键公式
04历史沿革
哈恩 1927、巴拿赫 1929 独立证明延拓定理；巴拿赫-斯坦因豪斯 1927 年证一致有界；巴拿赫与沙乌德尔完成开映射定理——1927-1932 黄金五年。
05应用与延伸
PDE 解算子的有界性证明、数值方法稳定性的一致估计、量子力学无界算子的严格处理、经济学的分离超平面定理（福利经济学）。
06交互演示
Hahn-Banach 分离定理两个不相交的凸集（圆盘）必存在超平面（直线）把它们严格分开