概念

函数项级数

一致收敛是「级数收敛得均匀」的概念，幂级数在收敛半径内逐项可导，傅里叶级数将函数分解为三角函数。

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函数项级数数学分析

01定义

函数项级数

\sum f_n(x)

逐点收敛之外还需一致收敛——「收敛得均匀」才保得住连续性与逐项求导积分。幂级数在收敛半径内性质完美，傅里叶级数则把函数分解为三角波。

傅里叶级数部分和逼近方波：一致收敛在间断点失效

一致收敛极限保持连续性、允许逐项积分；魏尔斯特拉斯 M 判别法（ $|f_n|\leq M_n$ 且 $\sum M_n$ 收敛）是最常用的充分条件。

收敛半径 $R=1/\limsup\sqrt[n]{|a_n|}$ ：半径内绝对收敛且可逐项求导； $e^x,\sin x$ 的泰勒展开是一切近似的源头。

正交投影系数 $a_n=\langle f,\cos nx\rangle/\pi$ ； $L^2$ 中均方收敛（里斯-费歇尔），逐点收敛由狄利克雷条件控制。

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

傅里叶 1807 年宣称「任意函数」可展开为三角级数遭质疑；狄利克雷 1829 年给出收敛条件；黎曼、勒贝格逐步完善 $L^2$ 理论。

信号处理与音频压缩（MP3 即频域截断）、热方程的分离变量解法、量子力学的能级展开——频域观点的入口。

几何级数部分和：S_n(x) → 1/(1−x)增大 n：部分和在 [0,1) 上逐点收敛但非一致收敛

n 项数8