概念

函数极限

单侧极限、无穷小比较与函数连续性，复合函数极限与连续函数的中值性质是基本结果。

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函数极限数学分析

01定义

函数极限以 ε-δ 语言刻画：

x

充分接近

a

时

f(x)

充分接近

L

。单侧极限、无穷极限与无穷小比较构成极限计算的全套工具；连续即「极限值等于函数值」。

ε-δ 定义：横轴的 δ 窗口映到纵轴的 ε 窗口

极限存在 $\iff$ 左右极限存在且相等；跳跃、可去、无穷三类间断点由单侧极限的形态分类。

$o, O, \sim$ 记号量化趋于零的速度： $\sin x\sim x$ ， $1-\cos x=O(x^2)$ ——等价无穷小替换是极限计算的高速通道。

闭区间连续函数的三件宝：介值定理（取遍中间值）、最值定理、一致连续性——拓扑性质首次登场。

\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\,0<|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon

柯西 1821 年以「无穷小」叙述，魏尔斯特拉斯改写为 ε-δ 形式；狄利克雷给出现代函数定义，使极限摆脱几何直觉的束缚。

数值方法的稳定性分析、控制系统的小信号近似、概率论的极限定理（大数定律的 ε-δ 式陈述）都建立在这一语言上。

函数极限：ε-δ 定义拖动 ε：缩小水平带，必存在 δ 邻域使曲线落在带内

ε0.25x₀ 趋向点1.00